10 PROIEZIONI ORTOGONALI DI PIANI

10 PROIEZIONI ORTOGONALI DI PIANI

Il piano è un elemento geometrico illimitato; graficamente viene raffigurato come un quadrilatero per rappresentare convenzionalmente una superficie priva di spessore, liscia e non curva.
Oltre ai piani fondamentali del triedro si possono individuare altri piani diversamente orientati nello spazio detti piani ausiliari, questi sono così denominati perché vengono in ausilio per risolvere alcuni problemi grafici anche complessi.
I piani ausiliari sono comunemente contraddistinti con una lettera dell’alfabeto greco, α (alpha), β (beta), γ (gamma) ecc.

Quando due piani si intersecano formano una retta detta traccia (t) del piano, questa serve per individuare, graficamente, la loro posizione spaziale.

Se noi caliamo un piano ausiliario α nel triedro avremo:
- t’α se il piano interseca il P.O.
- t’’α se il piano interseca il P.V.
- t’’’α se il piano interseca il P.L.


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Posizioni spaziali dei piani ausiliari

Le posizioni dei piani ausiliari rispetto ai piani fondamentali del triedro possono essere:

- Piani paralleli a un piano di proiezione (figg. 25, 26 e 27).
- Piani perpendicolari a un piano di proiezione e inclinati ai restanti due (figg. 28, 29 e 30). - Piani inclinati ai tre piani di proiezione (piani generici) (fig. 31).

Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α parallelo al P.O. (fig. 25).



25
Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α parallelo al P.L. (fig. 26).



26
Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α parallelo al P.V. (fig. 27).



27
Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α perpendicolare al P.V. e inclinato ai restanti piani di proiezione (fig. 28).



28
Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α perpendicolare al P.O. e inclinato ai restanti piani di proiezione (fig. 29).



29
Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α perpendicolare al P.L. e inclinato ai restanti piani di proiezione (fig. 30).



30
Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α inclinato ai tre piani di proiezione (fig. 31).



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Riba

ltamenti di un piano ausiliario su un piano di proiezione

Qualsiasi piano dello spazio può contenere una figura. In proiezione ortogonale si proiettano nella vera forma e grandezza solo le figure che appartengono a piani orizzontali o a piani verticali paralleli a un piano del triedro.
Le proiezioni delle figure che appartengono a piani inclinati sono scorciate, quindi per ottenere la loro vera forma e grandezza è necessario fare il ribaltamento del piano inclinato su un piano di proiezione fondamentale.
In questo caso si stabilisce una relazione di omologia (corrispondenza) tra la figura ribaltata e la figura reale. L’omologia ha come asse la traccia del piano inclinato sul piano proiettante su cui si effettua il ribaltamento. Le lettere ribaltate, per differenziarle, vengono racchiuse fra parentesi, così la t’α è ribaltata in (t’α).
Quando il piano ausiliario è perpendicolare a un piano di proiezione e inclinato agli altri due, si consiglia di ribaltare il piano ausiliario sul piano proiettante che lo riceve ortogonalmente; questa operazione faciliterà la ricerca della vera dimensione della forma appartenente al piano ausiliario.



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Nella è rappresentato il caso in cui il piano ausiliario α è perpendicolare al P.V. ed inclinato al P.O. e al P.L.
Il piano α, fatto ruotare attorno alla t’’α (asse dell’omologia o asse del ribaltamento), va a coincidere con il P.V.
La (t’α) e la (t’’’α) formano angoli retti con la t’’α perché il piano ausiliario è ortogonale al P.V. Assonometria e proiezioni ortogonali del ribaltamento di un piano ausiliario α perpendicolare al P.V. e inclinato ai restanti piani di proiezione.
Le figure 33 e 34 mostrano i casi in cui il piano ausiliario è rispettivamente perpendicolare al P.O. e al P.L. e inclinato ai restati piani di proiezione. Gli esercizi si risolvono applicando il procedimento operativo precedente.

Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α perpendicolare al P.O. e inclinato ai restanti piani di proiezione (fig. 33).



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Assonometria e proiezioni ortogonali di un piano ausiliario α perpendicolare al P.L. e inclinato ai restanti piani di proiezione (fig. 34).



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Ribaltamento di un piano generico su un piano di proiezione

Retta di massima pendenza

Il ribaltamento di un piano generico su un piano proiettante richiede un’esecuzione grafica complessa.
La figura 35 visualizza il ribaltamento di α sul P.O.
Individuate t’α, t’’α e t’’’α, si fissa, in modo arbitrario, un punto P’’ sulla t’’α e si cerca la sua proiezione P’.
Si traccia la perpendicolare alla t’α passante da P’. Con centro in O e raggio OP’’ si descrive un arco che taglia la perpendicolare in (P’’).
Con centro in O e raggio OA si descrive un arco che definisce (A).
Il segmento O(A) rappresenta la (t’’α) e il segmento B(A) rappresenta la (t’’’α).

Analizzando il procedimento grafico della figura 35, possiamo leggere la retta di massima pendenza del piano α.

La retta di massima pendenza di un piano inclinato ai tre piani principali, è la retta che appartiene al piano generico, la cui proiezione orizzontale risulta perpendicolare alla t’ del piano stesso.
Nella figura 35 la retta di massima pendenza r è rappresentata con il colore blu e le sue proiezioni, r’, r’’, r’’’ sui tre piani fondamentali, in colore rosso.

Assonometria e proiezioni ortogonali del ribaltamento di un piano generico su un piano di proiezione e della ricerca della retta di massima pendenza.


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Disegno Facile A
Disegno Facile A