14 SEZIONE AUREA

14 SEZIONE AUREA

Capire e saper riprodurre l’armonia e la proporzione esistente in natura con calcoli e opere esteticamente perfette è un problema che matematici e artisti si sono posti sin dai tempi più antichi e che è ancora e sempre attuale. Euclide, nella sua ponderosa opera Elementi, tratta diffusamente la teoria delle proporzioni peraltro già conosciuta in Grecia e sapientemente applicata dagli architetti che progettarono il Partenone.
Proprio su questo illustre tempio infatti, è stata verificata l’applicazione della sezione aurea (φ), rapporto proporzionale geometricamente definito come la parte di un segmento media proporzionale fra l’intero segmento e la parte restante di essa.

Risoluzione matematica
Dati s = segmento
x = incognita, medio proporzionale
s-x = segmento residuo



Si può scrivere
s : x = x : (s-x)
x2 = s (s-x)
x2 = s2 - s x
x2 + s x - s2 = 0
notando che questa è un’equazione di secondo grado (ax2 + bx + c = 0) che si risolve con



dove
a = coefficiente di x2 (in questo caso = 1)
b = coefficiente di x (in questo caso = s)
c = coefficiente di x2 (in questo caso = -s2)

si avrà



Ponendo per ipotesi s = 1, per x1 si avrà:



conseguentemente s - x = 1 - 0,618 = 0,382
Ponendo per ipotesi s = 1, per x2 si avrà:



il risultato è negativo quindi impossibile perchè un segmento non può essere negativo.
Ora se si torna alla proporzione iniziale: s : x = x : (s-x) questa si può anche scrivere:



significa che il rapporto è costante.
Quindi essendo per ipotesi s = 1
avendo trovato x = 0,618
dove avendo trovato s - x = 0,382



rapporto aureo (φ). Risoluzione geometrica
Dato il segmento AB, dopo aver individuato il suo punto medio M e la perpendicolare all’estremo B, centrare in B con raggio BM e tracciare l’arco MC.
Unire A con C. Puntare in C con apertura CB determinando l’intersezione con l’arco in D.
Puntare in A con apertura AD trovando E sul segmento AB.
AE è il medio proporzionale fra il segmento AB ed EB, parte restante di esso.
Dal segmento aureo deriva anche il rettangolo aureo in cui i lati si rapportano come φ a 1. La facciata del Partenone ne è un chiaro esempio.



Costruzione del rettangolo aureo del Partenone
Su una retta r prendere AB uguale all’altezza del Partenone.
Costruire il quadrato di lato AB individuando C e D.
Tracciare successivamente le diagonali e dal punto d’intersezione O condurre la perpendicolare ad AB in E.
Centrare in E con raggio EC tracciando l’arco che taglia r in F Tracciando da F la parallela ad AD e da D la parallela ad AF, si ottiene il punto G.
ADGF è il rettangolo aureo e l’altezza h è il medio proporzionale:
AF : AB = AB : BF
Dalla sezione aurea, attraverso il rettangolo aureo, si può anche costruire la spirale aurea che in natura è ben rappresentata dalla conchiglia di un mollusco, il Nautilus.



Il rettangolo aureo della facciata del Tempio di Athena Parthenos di Atene (447 -438 a. C.)
Costruzione della spirale aurea Dato il rettangolo aureo ABCD si disegni il quadrato al suo interno costruito sul lato minore BC, individuando FE. Si noti che AFED è un altro rettangolo aureo l’interno del quale verrà suddiviso in modo analogo al primo e così si prosegue. Centrando sui vertici 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dei quadrati interni con apertura uguale al loro lato, si realizzino in successione gli archi che determinano la spirale aurea.



Anche in pittura abbiamo insigni esempi di applicazione della sezione aurea anche detta, dal Rinascimento, divina proporzione. Significativo a tale proposito è il dipinto La Venere di Botticelli (il rapporto aureo è stato individuato proprio sulla figura di Venere) mentre più tardi, nella Grande-Jatte dell’esponente di spicco del pointillisme, Georges-Pierre Seurat è tutta la composizione ad assoggettarsi a tali norme.



Georges-Pierre Seurat, La Grande Jatte, 1884-1886, The Art Institute of Chicago.
Da non dimenticare infine, l’interesse per l’uomo e le sue proporzioni da Vitruvio a Leonardo che disegna il celeberrimo Uomo vitruviano, giungendo a Le Corbusier che formula la teoria del Modulor, uno studio in cui le regole della sezione aurea applicate all’uomo servono per mettere in rapporto lo stesso con l’ambiente costruito e l’arredamento.



Le Corbusier, Il Modulor.

Disegno Facile A
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