11 CURVE POLICENTRICHE

11 CURVE POLICENTRICHE

Ovali

L’ovale è una figura geometrica piana delimitata da una linea curva chiusa. Generalmente il suo disegno è definito da due coppie di archi di circonferenza raccordati fra loro ed equidistanti rispetto ai due assi di simmetria.

Costruire un ovale dato l’asse maggiore
- Disegnare l’asse maggiore AB=a e dividerlo in tre parti uguali individuando i punti C e D.
- Centrare in C e D con apertura CA=DB e tracciare due circonferenze di uguale raggio.
- Realizzare le semirette EC ed ED e simmetricamente FC ed FD le quali secheranno sulle circonferenze i punti I ed L e i punti G e H.
- Facendo perno in E con apertura EI si tracci un arco che si chiuderà in L. Si punti in F procedendo allo stesso modo.
- La curva AILBHG è l’ovale cercato.



Costruire un ovale dato l’asse minore
- Dato l’asse minore AB=a tracciare la perpendicolare nel suo punto medio individuando O.
- Centrare in O e disegnare la circonferenza di raggio OA che taglierà l’asse in C e D.
- Tracciare le semirette AC e AD; BC e BD.
- Puntare in A e B con apertura AB e realizzare due archi che incontrano le due semirette in E ed F; G e H.
- Con apertura EC centrare in C disegnando l’arco EG quindi con analoga apertura puntare in D ed eseguire l’arco FH.
- La curva EBFHAG è l’ovale cercato





Guarino Guarini, Scala ovale.
Costruire un ovale dati i due assi
- Dato l’asse maggiore AB=a tracciare la perpendicolare nel suo punto medio individuando O quindi segnare sulla perpendicolare stessa, simmetricamente rispetto ad AB, i due estremi C e D dell’asse minore CD=b.
- Unire C e D con A e B.
- Puntare in O con apertura OA e individuare E sulla perpendicolare ad AB.
- Centrare in C con apertura CE uguale alla differenza dei due assi e disegnare una circonferenza che passerà per i punti F e G.
- Tracciare gli assi dei segmenti AF e GB che taglieranno AB in L e M e CD in H.
- Puntare in O ponendo OH=OI quindi tracciare le due semirette uscenti da H.
- Fare perno in H e I con apertura HC e tracciare due archi individuando rispettivamente RS e PQ
- Centrare in L con apertura LP e unire P ad R; puntando in M con analoga apertura unire Q ad S.
- La curva ARDSBQCP è l’ovale richiesto.



80

Ovoli

L’ovolo è una figura geometrica piana delimitata da una linea curva chiusa. Presenta un asse di simmetria e il suo disegno è definito da un semicerchio raccordato a un semiovale.

Costruire un ovolo dato l’asse minore
- Disegnare una circonferenza del diametro dell’asse minore AB=b e tracciarne la perpendicolare nel suo punto medio O che taglierà in C la ciconferenza stessa.
- Condurre per C le semirette BC e AC.
- Puntare in A e B con apertura b, realizzando due archi che incontrano le semirette in D ed E.
- Centrare in C con apertura CD e disegnare l’arco DE.
- La curva B, E, D, A è l’ovolo cercato.



Costruire un ovolo dato l’asse maggiore
- Dato l’asse maggiore AB=a tracciare la perpendicolare nel suo punto medio M.
- Condurre da A la perpendicolare ad AB e puntando in A con apertura AM realizzare l’arco MC.
- Unire C con B quindi centrando in C disegnare l’arco AD.
- Puntare in B con apertura BD individuando O su AB.
- Tracciare la circonferenza di raggio OA che taglia AB in E.
- Tracciare la perpendicolare ad AE passante per O trovando F e G sulla circonferenza.
- Condurre per E le semirette EF e EG.
- Puntare in F e G con apertura FG realizzando due archi che incontrano le semirette in H ed I
- Centrare in E con apertura EH e disegnare l’arco HI.
- La curva AGIBHF è l’ovolo cercato.



Costruire un ovolo dati i due assi
- Disegnare due rette perpendicolari che s’intersecano in O.
- Con centro O, realizzare una circonferenza di diametro b, asse minore dell’ovolo, individuando C,D,A. Si porti la misura dell’asse maggiore AB=a, a partire da A.
- Si unisca B con C e con D e su CB si segni in F la differenza dei due assi (v esercizio fig. 80).

- Tracciare l’asse di FB che incontrerà AB in G e CD nel suo prolungamento in H.
- Puntare in H con apertura HC individuare I; trovare specularmente ad H il punto M quindi puntare in M con la stessa apertura determinando L.
- Centrare in G con apertura GI e unire I ad L, passando per B.
- La curva ADLBIC è l’ovolo richiesto.





84 Piero della Francesca, particolare del catino absidale della Pala Montefeltro (1472-1474); Milano, Pinacoteca di Brera.

Spirali

La spirale è una linea curva aperta derivante dal movimento di un punto che ruota intorno a un punto fisso e da questo, in modi diversi e progressivamente, si allontana. Dicesi passo della spirale la distanza dal centro del suo punto generatore dopo una rotazione di 360° (spira).

Costruire una spirale a due centri e a passo costante
- Tracciare la retta r di riferimento e su di essa porre la misura del passo p=2A.
- Centrando in 1 punto medio di 2A disegnare una semicirconferenza di raggio 1-2 che individua A sulla retta stessa.
- Puntare nel secondo centro 2 con raggio 2A trovando B.
- Tornare al centro 1 e portare la distanza 1B in C.
- Proseguire a piacere mantenendo l’alternanza dei due centri e raccordando gli archi in successione .



Costruire una spirale a quattro centri e a passo costante
- Disegnare un quadrato e dai quattro vertici far fuoriuscire le semirette secondo l’ordine in figura.
- Centrare in 1 con apertura 1-4 realizzando il quarto di circonferenza 4A; centrare in 2 con apertura 2A proseguendo con l’arco AB; puntare in 3 trovando C e in 4 giungendo al punto D.
- Proseguire con 1D, 2E, 3F badando a raccordare gli archi in successione.



Costruire una spirale ovale
È questa una variante della spirale a quattro centri e a passo costante sopra descritta. La differenza consiste nel fatto che la forma base di partenza non è un quadrato ma un rettangolo e le semirette fuoriescono a coppie da due vertici tuttavia il procedimento rimane immutato.



Costruire una spirale a sei centri e a passo costante
Anche in questo caso vale il procedimento descritto in figura 86. La forma base questa volta è un esagono dal quale fuoriescono ordinatamente sei semirette.
- Puntare in 1 con apertura 1-6 e tracciare l’arco 6A poi in 2 disegnando AB sino a completare la prima spira. Procedere con le altre spire sempre utilizzando i sei vertici dati.



Spirale a voluta ionica

Per costruire una spirale a voluta ionica, secondo l’architetto rinascimentale Jacopo Barozzi detto il Vignola, si prende come riferimento una distanza che sia nove volte il raggio di un cerchio chiamato occhio.
- Dividere l’occhio in quattro parti uguali e unire i punti risultanti sulla circonferenza P, Q, R, S.
- Tracciare le mediane del quadrato individuando 1, 2, 3, 4 e il punto O di intersezione.
- Dividere i segmenti O1, O2, O3, O4 in tre parti uguali determinando i punti da 1 a 12 che rappresentano i centri dei quarti di circonferenza formanti la voluta ionica.
- Iniziare la costruzione da 1A (il punto A è individuato sulla traccia verticale uscente da 1 e posto alla distanza 9) proseguendo con 2B, 3C, 4D, 5E sino ad arrivare a 12N che si andrà a spegnere in 1.
- Per formare la spirale interna si prenda ad esempio la distanza nell’occhio 1-O e si suddividano le sue tre parti in ulteriori quattro parti ciascuna .



Particolare dell’occhio della spirale.
Lo stesso si faccia su 2-O, 3-O, 4-O. Si proceda in modo analogo alla prima spirale prendendo però come riferimento i nuovi punti 1’,2’,3’ e successivi che si trovano a un quarto dei corrispettivi 1,2,3 muovendosi verso O. A sua volta A’ è individuato sulla traccia verticale uscente da 1’ e posto alla distanza 8.






Capitello ionico.

Spirale di Archimede

- Tracciare la retta r e su di essa stabilire il punto O, origine della spirale e P dove OP è il passo della stessa spirale.
- Disegnare la circonferenza di raggio OP quindi dividerla in un certo numero di parti uguali (nell’esempio 12).
- Suddividere anche il segmento OP in 12 parti e tracciare le circonferenze concentriche passanti per i 12 punti. La circonferenza passante per 1 individuerà il punto A sul raggio a; quella passante per 2, il punto B su b, C su c sino ad arrivare a P su r. Unendo con il curvilinee i punti trovati, si ottiene la spirale cercata.

Volendo proseguire si riporta da ciascun punto della spirale, a partire da A, sul raggio di competenza, la misura del passo che è costante trovando Q su a, R su b, S su c.




Bramante, Scala elicoidale, Musei Vaticani, Roma.

Evolvente di cerchio

È un tipo di curva generata da un punto di una retta in puro rotolamento sulla circonferenza di un cerchio.
- Per costruire l’evolvente di un cerchio occorre dividere la circonferenza in un certo numero di parti uguali e tracciare le tangenti alla circonferenza in quei punti.
- Si consideri il punto iniziale P. Si centri in 1 con apertura 1-P individuando P1; si punti in 2 con apertura 2-P1 e si tracci il successivo arco P1-P2 ; si punti in 3 con apertura 3-P2 e si prosegua analogamente per i successivi punti.



Elica cilindrica

L’elica cilindrica è la linea determinata da un punto che si muove su di un cilindro ruotando intorno al suo asse e avanzando ogni giro completo di una distanza chiamata passo. L’elica possiede un verso destro o sinistro. Si ha l’elica destra quando la si vede ruotare in senso orario salendo verso l’alto; è sinistra quando sale in senso antiorario.

Costruire l’elica cilindrica dati il cilindro e il passo
- Disegnare il cilindro in prima e in seconda proiezione.
- La prima proiezione del cilindro è un cerchio: dividerne la circonferenza in un certo numero di parti uguali, 12 nell’esempio.
- Sul PV dividere la misura del passo, presa come altezza del cilindro, nello stesso numero di parti uguali (12). Si ottiene un reticolo a maglie ortogonali attraverso le cui intersezioni si individuano i punti in successione che disegnano la forma dell’elica.
- Nel disegno, l’elica nera è determinata dal verso destro; quella rossa dal verso sinistro.



Disegno Facile A
Disegno Facile A