7 POLIGONI REGOLARI

7 POLIGONI REGOLARI

I poligoni regolari sono figure geometriche piane che hanno la caratteristica di avere tutti i lati e gli angoli congruenti e in ciascuno di essi il numero di lati coincide con il numero degli angoli e con il numero di vertici. Il numero minimo di lati è tre mentre il massimo è infinito.
Il poligono regolare avente tre lati è il triangolo equilatero, quello a quattro lati è il quadrato, quello a cinque lati è il pentagono, poi l’esagono, l’ettagono, l’ottagono, l’ennagono, il decagono, l’endecagono e l’elenco può procedere per n lati avendo cura di anteporre il prefisso che caratterizza il numero di angoli al suffisso –gono derivante dal greco gonía che significa angolo.
I poligoni regolari possiedono la proprietà di poter essere sempre inscritti in una circonferenza e in questo caso tutti i vertici giacciono sulla circonferenza stessa e anche circoscritti ad una circonferenza ovvero i lati risultano tangenti alla circonferenza. La loro costruzione avviene attraverso due metodi fondamentali:
- dato il lato
- data la circonferenza



Cupola a base poligonale della chiesa dei Santi Pietro e Paolo, Forza d’Agrò (Me), XI-XII secolo

8 POLIGONI REGOLARI DATO IL LATO

Pentagono regolare
Costruire un pentagono regolare dato il lato
- Dato AB=l, puntare in A e in B con apertura AB e tracciare due archi che si intersecano in 1.
- Sull’estremo B innalzare la perpendicolare che incontra in 2 l’arco di centro B e raggio AB e individuare il punto medio M del segmento.
- Centrando in M con apertura di compasso M2, determinare il punto 3 sul prolungamento di AB.
- Con apertura di compasso A3 puntare in A e in B trovando D sulla perpendicolare ad M, infine C ed E, intersezioni con i primi due archi disegnati.
- Unendo E con A e D e anche C con B e D si ottiene il pentagono regolare richiesto.



Esagono regolare

Costruire un esagono regolare dato il lato
- Dato AB=l, puntare in A e in B con apertura AB e tracciare due archi che si incontrano in O.
- Centrare in O con apertura OA e tracciare una circonferenza che interseca gli archi in C e in F.
- Mantenendo invariata l’apertura di compasso puntare in C e in F e tracciare due archi che individueranno sulla circonferenza i punti D ed E.
- Unendo in successione i punti determinati sulla circonferenza si ottiene l’esagono regolare cercato.



Ettagono regolare

Costruire un ettagono regolare dato il lato
- Dato AB=l, sul suo prolungamento determinare il punto 1, fissato AB=B1.
- Tracciare la perpendicolare all’estremo B.
- Puntare in A con apertura A1 disegnando un arco che taglierà la perpendicolare in B nel punto 2.
- Determinare la bisettrice dell’angolo 2A1 la cui traccia seca 2B in 4.
- Con distanza A4 puntare prima in A e poi in B tracciando due archi che s’incontrano in O.
- Centrare in O e tracciare la circonferenza di raggio OA che circoscrive l’ettagono; su di essa si riporti la misura di l iniziando, ad esempio, dal punto B, individuando C, D, E, F, G vertici dell’ettagono regolare che, uniti in successione e al lato iniziale definiscono il poligono cercato.



Ottagono regolare

Costruire un ottagono regolare dato il lato
- Dato AB=l, costruirne l’asse e, individuato il suo punto medio M, puntare in M con apertura MA disegnando una semicirconferenza che interseca l’asse nel punto 1.
- Puntare in 1 con apertura 1A e realizzare un ulteriore arco che seca l’asse in O centro della circonferenza di raggio OA che circoscrive l’ottagono; su questa si riporti la misura di l iniziando, ad esempio, dal punto B, individuando C, D, E, F, G, H vertici dell’ottagono regolare che, uniti in successione e al lato iniziale definiscono il poligono cercato.



Ennagono regolare

Costruire un ennagono regolare dato il lato
- Dato AB=l, puntare in A e in B con apertura AB e tracciare due archi che s’incontrano in 1.
- Disegnare l’asse del segmento AB che passa per 1 e taglia il segmento stesso in M, punto medio; successivamente misurare MA che equivale alla metà di AB e determinarla sull’asse in O, a partire da 1.
- Centrando in O con apertura OA realizzare una circonferenza che interseca i primi due archi in C e in I e sulla quale, consecutivamente si riporterà la misura del lato dato sino a determinare i nove lati dell’ennagono cercato.



Decagono regolare

Costruire un decagono regolare dato il lato
- Dato OA=l, individuare il punto medio M.
- Portare la misura AM sulla perpendicolare innalzata da A individuando il punto B.
- Condurre la semiretta OB e su di essa, puntando in B con apertura BA trovare C.
- OC è il raggio della circonferenza circoscritta al decagono richiesto.



Poligono regolare con n numero di lati

Costruire un decagono regolare dato il lato
- Dato AB=l, puntare in A e in B con apertura AB e tracciare due archi che s’incontrano in O.
- Disegnare l’asse del segmento AB che passa per il suo punto medio M e per O. Unendo O con A e con B si ottiene in triangolo equilatero.
- Dividere uno dei suoi lati (nell’esempio OB) in 6 parti uguali (v. esercizio fig.13) dove il punto 6≡O
- Portare sull’asse a partire da 6 e verso l’alto quattro delle parti in cui è risultato diviso OB, numerando ciascuna in progressione sino a definire il punto 10, centro della circonferenza che inscrive il decagono.
- Puntare in 10 con apertura 10-A e disegnare la circonferenza che viene tagliata in C e in L dai primi due archi tracciati. Proseguendo da C, riportare la misura di AB sino ad L.
- Congiungendo tutti i punti individuati sulla circonferenza si ottiene il decagono cercato.

Il procedimento visto per il decagono può essere applicato nella costruzione di qualunque altro poligono regolare. Basterà impostare sull’asse il numero corrispondente a quello dei lati del poligono voluto (nell’esempio il tridecagono che ha 13 lati) e il 13 diverrà centro di circonferenza che inscrive il poligono stesso, di lato AB.

Lo stesso procedimento vale anche nel caso in cui il poligono abbia un numero di lati inferiore a 6. Ovviamente le singole parti uguali di divisione di AB saranno disegnate a partire da 6 ma verso il basso. Se si volesse, come nell’esempio dato, cercare il pentagono con questo metodo generale, centrando in 5 con apertura 5A, si traccia la circonferenza che risulterà inscrivere il poligono stesso, di lato AB. A tale proposito, occorrerà unire i punti C’ ed L’ di tale circonferenza con i punti d’intersezione della stessa con l’asse oltre che con AB.



Disegno Facile A
Disegno Facile A