5 POLIEDRI REGOLARI

5 POLIEDRI REGOLARI

Sono solidi che hanno per facce poligoni regolari tutti uguali e anche spigoli e vertici equivalenti. Conosciuti fin dall’antichità, furono ampiamente studiati da Platone il quale, nei suoi Dialoghi, descrive il cosmo come composto da quattro elementi, fuoco, terra, aria e acqua: la terra corrisponde al cubo, l'aria all'ottaedro, l'acqua all'icosaedro e il fuoco al tetraedro. Un ulteriore solido, il dodecaedro, il più bello fra i poliedri, pensò poi fosse la forma dell'universo.
Quindi i “solidi platonici”, definiti anche i poliedri regolari, sono in tutto cinque:
- tetraedro
– esaedro o cubo
– ottaedro
– dodecaedro
– icosaedro
Il tetraedro, l’ottaedro e l’icosaedro hanno per modulo base un triangolo equilatero. L’esaedro ha per modulo base un quadrato. Il dodecaedro ha per modulo base un pentagono regolare.



40 - Dodecaedro stellato.

Tetraedro

Il modulo base, ovvero il triangolo equilatero, riportato sul piano quattro volte identico a se stesso, forma il tetraedro sviluppato.
Proiezione ortogonale
Disegnato sul P.O. il triangolo equilatero di base e le proiezioni degli spigoli (figura 42), per completare la realizzazione sul P.V. occorre individuare l’altezza.
Si tracci quindi la perpendicolare a V‘A‘ in V‘. Si punti il compasso in A‘ con raggio C‘A‘ e si disegni un arco di cerchio che andrà a incontrare la perpendicolare a A’V’ nel punto D, determinando l’altezza V’D.
Sviluppo
Per lo sviluppo si utilizzi la costruzione del triangolo equilatero dato il lato, dove la misura di quest’ultimo sarà doppia rispetto a quella del modulo base. Sui lati del triangolo così ottenuto si individuano tutti e tre i punti medi che, collegati fra loro, determinano la suddivisione della superficie in 4 triangoli equilateri che rappresentano le quattro facce del tetraedro sviluppato sul piano (figura 43).



41 - I solidi platonici: illustrazione tratta dal Timeo di Platone.


42 - Proiezione ortogonale.


43 - Sviluppo.

Esaedro o cubo

Il modulo base, ovvero il quadrato, riportato sul piano sei volte identico a se stesso, forma l’esaedro sviluppato. Il soldio è presentato in proiezione ortogonale e sviluppato



44 - Proiezione ortogonale.
Sviluppo
Lo sviluppo dell’esaedro o cubo è dato dal distendersi sul piano della sua superficie laterale composta da 4 quadrati uguali al modulo base, più altri due della base superiore e inferiore, aventi posizione opposta ma analoghe dimensioni.



45 - Sviluppo.

Ottaedro

Il modulo base, ovvero il triangolo equilatero, riportato otto volte identico a se stesso, forma l’ottaedro sviluppato.

Proiezione ortogonale
La proiezione sul P.O. dell’ottaedro evidenzia la forma di un quadrato il cui lato ha la stessa dimensione di un lato del triangolo equilatero che rappresenta il modulo base del solido geometrico.

(fig. 46)

46 - Proiezione ortogonale.
Sviluppo
Per lo sviluppo dell’ottaedro ci si avvale di quello del tetraedro, raddoppiato; ovvero ai primi quattro triangoli si uniscono gli altri quattro in posizione opposta (fig. 47).



47 - Sviluppo.

Dodecaedro

Il modulo base, ovvero il pentagono regolare, riportato dodici volte identico a se stesso, forma il dodecaedro sviluppato.



49 - Jacopo de’ Barbari, ritratto di Luca Pacioli, Museo di Capodimonte, Napoli. Nel particolare evidenziato in giallo, il dodecaedro.
Proiezione ortogonale Il dodecaedro è disegnato in prima proiezione con due facce uguali pentagonali parallele al P.O. l’una superiore e l’altra inferiore, aventi lo stesso centro ma in posizione opposta. Il pentagono inferiore dovrà anche avere il lato G’≡F’ perpendicolare alla L.T. e, di conseguenza, quello superiore dovrà avere a sua volta il lato C’D’ perpendicolare alla L.T. Sul lato G’≡F’ si disegni un terzo pentagono e si trovi il centro M’. M’1 è il raggio della circonferenza circoscritta al decagono i cui vertici rappresentano la proiezione degli angoli solidi più esterni del dodecaedro; unire i vertici interni a quelli esterni come indicato in figura. Si proietti quinidi sul P.V. la misura dell’asse del modulo base: puntando in G’’≡F’’ si tracci un arco di cerchio che porti in M’’ determinando così la prima altezza a. Puntare ancora in G’’≡F’’ e prendendo come riferimento l’altezza intermedia del modulo, individuare N’’V’’ ottenendo a’.



48 - Proiezione ortogonale.
Sviluppo Lo sviluppo del dodecaedro si basa sulla costruzione del modulo base che ha forma di pentagono regolare, costruendo poi a partire da ogni lato della figura, altri cinque pentagoni regolari. La composizione geometrica risultante deve quindi essere raddoppiata, avendo l’accortezza di porre un lato della prima forma “stellare” contiguo ad uno della seconda, come mostra il disegno.



50 - Sviluppo.

Icosaedro

Il modulo base, ovvero il triangolo equilatero, riportato sul piano venti volte identico a se stesso, forma l’icosaedro sviluppato.

Proiezione ortogonale
Ponendo l’icosaedro con l’asse perpendicolare al piano orizzontale, in prima posizione si ottiene un decagono regolare i cui vertici sono alternativamente proiezione della parte di solido intermedia e superiore. Si disegni quindi una circonferenza. Inscrivere in essa un pentagono regolare A‘B‘C‘D‘E‘ e sul prolungamento dei suoi apotemi, dove questi incontrano la circonferenza, si trovano i punti F‘G‘H‘I‘L‘ che permettono la costruzione di un secondo pentagono regolare. Unendo i vertici dei due pentagoni si otterrà il decagono regolare, proiezione del perimetro esterno dell’icosaedro sul P.O. In proiezione verticale si ponga a della misura del lato del decagono e b uguale al raggio del cerchio in cui il decagono è inscritto.



51 - Proiezione ortogonale
Sviluppo
Lo sviluppo dell’icosaedro è dato dal distendersi sul piano della sua superficie laterale composta da 10 triangoli equilateri uguali al modulo base, più altri cinque appartenenti alla base inferiore e cinque della base superiore aventi posizione opposta ma invariate dimensioni.



52 - Sviluppo.

6 POLIEDRI SEMIREGOLARI

I poliedri semiregolari, o solidi archimedei, sono tredici solidi formati da facce costituite da poligoni regolari, ma non tutti dello stesso tipo, ripetute molte volte. La loro caratteristica è che gli spigoli hanno la stessa lunghezza.
Particolarmente interessante, per via della tipologia d’impiego, è l’icosaedro tronco.

Icosaedro tronco

Si avvicina molto alla sfera ed è per questo che viene usato per la realizzazione dei palloni da calcio che risultano composti da 32 pannelli di cuoio o plastica, di cui 12 pentagonali e 20 esagonali.



53 - Sviluppo.


54 - Pallone ad icosaedro tronco.

Disegno Facile A
Disegno Facile A