15 FIGURE INCLINATE AI PIANI DI PROIEZIONE

15 FIGURE INCLINATE AI PIANI DI PROIEZIONE

Come abbiamo già esposto, quando una figura è inclinata ai piani di proiezione determina una proiezione scorciata, che non rispetta la dimensione e le misure della figura stessa.
Per risolvere tali problemi, la geometria descrittiva considera i seguenti metodi.

Metodo delle rotazioni.
Metodo del ribaltamento della figura.
Metodo dei piani ausiliari.

Metodo delle rotazioni

Questo metodo consente di partire dalla reale forma della figura posizionandola parallela a un piano di proiezione.
Eseguite due proiezioni, si procede con la rotazione come indicato negli esempi grafici.

Proiezioni ortogonali di figure piane inclinate.
Proiezioni ortogonali di un esagono perpendicolare al P.O. e inclinato di 30° al P.V.
Per risolvere l’esercizio si seguono i seguenti passaggi:
Si posiziona il poligono parallelo al P.V. e si disegnano le sue proiezioni sul P.V. e sul P.O. (figure rosse).
Si traccia una retta passante per A’ inclinata di 30° al P.V. e su questa si ruota il poligono.
Dai vertici B’, F’, C’, E’ e D’ si tracciano delle proiettanti verticali che incontrano le proiettanti orizzontali uscenti dai rispettivi vertici (B’’), (F’’), (C’’), (E’’) e (D’’) e determinano la seconda proiezione .
La terza proiezione si ottiene applicando il normale metodo proiettivo.



57
Proiezioni ortogonali di un pentagono perpendicolare al P.V. e inclinato di 45° al P.O.
L’esercizio si risolve ponendo il poligono parallelo al P.O. (figure rosse) e, successivamente, ruotandolo su una retta disegnata sul P.V., inclinata di 45° al P.O.



58
Proiezioni ortogonali di solidi inclinati.
Anche per le proiezioni di solidi inclinati si procede posizionando la figura con le basi parallele a un piano proiettante, poi si effettua la rotazione della stessa.

Proiezioni ortogonali di un prisma con le basi esagonali perpendicolari al P.O. e inclinate di 30° al P.V.
Lo sviluppo grafico di questo problema richiama quello dell’esercizio della figura 57.
Si proietta il solido sul P.O. e sul P.V. con le basi parallele al P.V. (figure rosse).



59
Proiezioni ortogonali di una piramide con la base pentagonale perpendicolare al P.V. e inclinata di 45° al P.O.
Lo sviluppo grafico di questo problema richiama l’esercizio della figura 58.
Si proietta il solido sul P.O. e sul P.V. con la base parallela al P.O. (figure rosse).
Si traccia una retta passante da A’’ inclinata di 45° al P.O. Centrando il compasso in A’’ si ruota il solido e si procede come indicato negli esercizi precedenti.
Per determinare la proiezione di V sul P.O., bisogna considerare che, essendo la base perpendicolare al P.V., l’asse del solido sarà parallelo allo stesso piano.
Da (V’) si traccia una proiettante orizzontale che taglia la proiettante verticale passante da V’’, la loro intersezione determina V’.



60
Il metodo delle rotazioni consente di risolvere graficamente anche le proiezioni ortogonali dei solidi inclinati ai tre piani fondamentali attraverso l’applicazione delle rotazioni successive.

Proiezioni ortogonali di una piramide con la base esagonale inclinata ai tre piani di proiezione e con un vertice di questa appartenente al P.O.
Si proietta il solido sul P.O. e sul P.V. con la base appartenente al P.O. (figure rosse).
Si traccia una retta passante da D’’ inclinata al P.O., su questa si ruota il solido e si completa la proiezione sul P.O. seguendo il procedimento grafico precedentemente suggerito (figure blu).
Si esegue sul P.O. una seconda rotazione e si disegna una figura uguale a quella disegnata in blu.
Per completare le proiezioni ortogonali sul P.V. e sul P.L. si procede con il normale metodo proiettivo.



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Metodo del ribaltamento della figura

Questo metodo consente di risolvere gli esercizi grafici di figure inclinate, attraverso il ribaltamento di 90° della figura sul piano di proiezione.

Proiezioni ortogonali di figure piane inclinate.
Proiezioni ortogonali di un cerchio perpendicolare al P.O. e inclinato di 40° al P.V.

Considerato che il cerchio appartiene ad un piano generico perpendicolare al P.O. e inclinato di 40° al P.V., si disegna sul P.O. una retta (rossa) inclinata di 40° al P.V., coincidente con la t’ del piano generico.
Si considera il ribaltamento del piano generico sul P.O., quindi si disegna il cerchio ribaltato, nella sua forma reale, impostato con un diametro parallelo alla retta.
Dai punti (A), (B), (C), (D), (E), (F) ,(G) e (H) si tracciano le perpendicolari alla retta, queste determinano la prima proiezione.
Dai punti della prima proiezione si tracciano proiettanti verticali e su queste, a partire da una linea di riferimento (blu), si riportano le h (a), (b), (c) e (d) lette nel ribaltamento; tale operazione permette di determinare la seconda proiezione.
Per completare la proiezione sul P.L. si procede con il normale metodo proiettivo.



62
Proiezioni ortogonali di un rettangolo perpendicolare al P.L., inclinato di 45° al P.V. e al P.O. con tutti i lati inclinati al P.L.
Il rettangolo appartiene a un piano generico perpendicolare al P.L. e inclinato di 45° al P.V. e al P.O., quindi si disegna sul P.L. una retta (rossa) inclinata di 45° al P.V. e al P.O., coincidente con la t’’’ del piano generico.
Si disegna il ribaltamento del rettangolo con tutti i suoi lati inclinati alla retta e dai punti (A), (B), (C) e (D) si tracciano le perpendicolari alla retta, queste determinano la terza proiezione.
Dai punti della terza proiezione si tracciano proiettanti parallele alla L.T. e su queste, a partire da una linea di riferimento (blu), si riportano le h (a), (b) e (c) lette nel ribaltamento, tale operazione permette di determinare la seconda proiezione.
Per completare la proiezione sul P.O. si procede con il normale metodo proiettivo.



63
Proiezioni ortogonali di solidi inclinati.
Le proiezioni ortogonali di solidi inclinati rispettano il procedimento grafico presentato per le proiezioni ortogonali delle figure piane.

Proiezioni ortogonali di un cilindro con una generatrice appartenente al P.O. e le basi inclinate di 40° al P.V.
Lo sviluppo grafico di questo problema richiama quello dell’esercizio della figura 62.
Dalla proiezione della prima base sul P.O., si riporta l’altezza del solido per costruire la seconda.
La linea di riferimento (blu) sul P.V. e sul P.L. coincide con la L.T.,perchè il cilindro ha una generatrice appartente al P.O., da questa si riportano le h lette nel ribaltamento.



64
Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo con le basi rettangolari perpendicolari al P.L. e inclinate di 45° al P.O. e al P.V., le facce laterali sono inclinate al P.L.

Lo sviluppo grafico di questo problema richiama quello dell’esercizio della figura 63.
Dalla proiezione della prima base sul P.L., si riporta l’altezza del solido per costruire la seconda.
Dalla linea di riferimento (blu), sul P.V. si riportano le misure (a), (b) e (c) per definire la seconda e la prima proiezione.



65

Metodo dei piani ausiliari

Per risolvere graficamente i problemi di figure inclinate, con questo metodo, si deve partire dalle tracce del piano ausiliario e saper ribaltare tale piano su un piano di proiezione.

Proiezioni ortogonali di figure piane inclinate.
Proiezioni ortogonali di triangolo equilatero perpendicolare al P.O. e inclinato di 60° al P.V.


Il poligono appartiene a un piano generico α perpendicolare al P.O. e inclinato di 60° al P.V., quindi si disegnano t’α e t’’α.
Si ribalta il piano α sul P.O.
Sul piano α ribaltato si disegna il poligono regolare.
Per definire la prima e la seconda proiezione si proiettano i vertici del poligono ortogonalmente alle tracce.
La terza proiezione si ottiene con il normale metodo proiettivo.



66
Proiezioni ortogonali di un ottagono regolare perpendicolare al P.V. e inclinato di 30° al P.O.
Il poligono appartiene a un piano generico α perpendicolare al P.V. e inclinato di 30° al P.O., quindi si disegnano t’’α e t’α.
Si ribalta il piano α sul P.V.
Sul piano α ribaltato si disegna il poligono regolare.
Per definire le proiezioni sui tre piani si procede come indicato nell’esercizio precedente.



67
Proiezioni ortogonali di un ettagono regolare perpendicolare al P.L. e inclinato di 45° ai restanti piani di proiezione.
Il poligono appartiene a un piano generico α perpendicolare al P.L. e inclinato di 45° ai restanti piani di proiezione, quindi si disegnano t’’’α e la traccia di uno dei restanti piani (es. t’’α).
Si ribalta il piano α sul P.L.
Sul piano α ribaltato si disegna il poligono regolare.
Per definire le proiezioni ortogonali sui tre piani si procede come indicato negli esercizi precedenti.



68
Proiezioni ortogonali di un quadrato inclinato ai tre piani di proiezione.
Il poligono appartiene a un piano generico α inclinato ai tre piani di proiezione, quindi si disegnano t’α, t’’α e t’’’α.
Si ribalta il piano α sul P.O. Sul piano α ribaltato si disegna il quadrato. Nessun vertice del quadrato è proiettato su una traccia del piano α, quindi il metodo operativo da utilizzare per definire le tre proiezioni ortogonali diventa complesso.
Cerchiamo, come esempio, le proiezioni A’, A’’e A’’’ del vertice A:
Proiezione A’:
da (A) si traccia una linea di proiezione ortogonale alla t’α che verrà tagliata in A’ dalla linea di proiezione che da (A) sarà parallela, per un tratto, alla (t’’α) e per un altro tratto alla L.T.
Proiezione A’’:
da A’ si traccia una linea di proiezione ortogonale alla L.T., questa verrà tagliata in A’’ dalla linea di proiezione che da (A) sarà perpendicolare per un tratto alla (t’’α), e per un altro tratto perpendicolare alla t’’α.
Proiezione A’’’:
per cercare la proiezione A’’’ si adotta il normale procedimento proiettivo. Applicando analoghi passaggi grafici per gli alti vertici, si ottengono le proiezioni ortogonali sui tre piani di proiezione.



69
Proiezioni ortogonali di solidi inclinati.
Proiezioni ortogonali di un prisma con uno spigolo laterale appartenente al P.O. e con le basi triangolari equilatere inclinate di 60° al P.V.
Per risolvere questo esercizio con il metodo dei piani ausiliari si deve considerare un piano α avente la stessa posizione spaziale delle basi del prisma.

Si disegnano t’α e t’’α e si ribalta il piano ausiliario sul P.O.
Sul ribaltamento si disegna la base triangolare appoggiata con un vertice alla t’α. Dalla figura ribaltata, seguendo il procedimento proiettivo adottato per le figure piane inclinate, si ricavano le tre proiezioni.



70
Proiezioni ortogonali di una piramide con un lato della base esagonale appartenente al P.V., la base inoltre è inclinata di 45° al P.V.; l’asse del solido appartiene ad un piano perpendicolare al P.V. e inclinato di 60° al P.O.
Si posiziona il piano ausiliario perpendicolare alla base del solido e inclinato di 60° al P.O. Tracciate t’α e t’’α si posiziona la piramide appoggiata con la base al P.V. e si proietta sul piano ausiliario (figure rosse).
Utilizzando il metodo della rotazione, si ruota il solido fino a inclinare la base di 45° alla t’’α . Ottenuta la proiezione della piramide sul piano ausiliario si procede con il metodo proiettivo adottato precedentemente.



71
Proiezioni ortogonali di un prisma con uno spigolo laterale appartenente al P.O. e le basi pentagonali regolari inclinate di 45° al P.V. e di un cono appoggiato con un punto della base al P.O. e con una generatrice al prisma; il suo asse è inclinato al P.O. e appartiene ad un piano perpendicolare al P.O. e inclinato di 45° al P.V.

Dopo aver posizionato il piano ausiliario, si proietta la base del prisma sul ribaltamento del piano α e si procede con il metodo proiettivo adottato per l’esercizio proposto in figura 70.
A lato del prisma si posiziona il cono appoggiato con la base al P.O. (figure rosse) poi, si ruota il solido sul piano ausiliario applicando il metodo della rotazione in modo analogo a quello della figura 71.



72
Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo con uno spigolo laterale appartenente al P.V., le basi quadrate perpendicolari al P.V., inclinate di 60° al P.O. e di un prisma con un lato della base triangolare appartenente al P.V., una faccia laterale appoggia al parallelepipedo.
L’asse del prisma è inclinato al P.V. e appartiene a un piano ausiliario perpendicolare al P.V. e inclinato di 60° al P.O.
Anche questo esercizio richiede l’applicazione dei metodi del piano ausiliario e della rotazione.



73
Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo con la base quadrata appartenente a un piano inclinato ai tre piani di proiezione.
Il procedimento proiettivo per la soluzione del problema è complesso. Per la proiezione della base quadrata del solido si rimanda all’esercizio proposto in figura 69. Per determinare l’altezza del solido si deve utilizzare un nuovo piano ausiliario β contenente l’asse del parallelepipedo, perpendicolare al P.O. e inclinato al P.V.
Si considera il punto (O), centro della base ribaltata (verde) sul piano α, appartenente al piano β, quindi da (O) si traccia t’β (rossa) che taglia ortogonalmente t’α nel punto 1 e la L.T. nel punto 2.
t’’β (rossa) taglia ortogonalmente la L.T. nel punto 2 e la t’’α nel punto 3.
Si ribalta il piano β; sulla (t’’β) (rossa), che forma un angolo retto con t’β, si ribalta il punto 3 in (3).
Il segmento 1(3) è il ribaltamento della retta di massima pendenza; su questo si proiettano i vertici A’, B’, C’ e D’ in (A’), (B’), (C’) e (D’) e il centro O’ in (O’).
Da (O’) si traccia l’altezza del prisma ortogonale a 1(3) e, successivamente, da (A’), (B’), (C’) e (D’) si tracciano le parallele all’altezza, individuando i rispettivi vertici (E’), (F’), (G’) e (H’) (figura rossa).
Dai vertici (E’), (F’), (G’) e (H’) si tracciano proiettanti parallele a t’α che tagliano rispettivamente in E’, F’, G’ e H’ gli spigoli del prisma uscenti rispettivamente da A’, B’, C’ e D’.
Per completare la seconda proiezione, si tracciano proiettanti verticali uscenti da E’, F’, G’ e H’che determineranno rispettivamente E’’, F’’, G’’ e H’’ sulle proiettanti ortogonali alla t’’α condotte da A’’, B’’, C’’e D’’.



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Disegno Facile A
Disegno Facile A